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In makroskopischen Leitern mit Unordnung wird der Widerstand beziehungsweise die Leitfähigkeit durch die Drude-Theorie beschrieben. Diese basiert auf der klassischen Vorstellung, daß die Elektronen im Leiter von einer Störstelle zur nächsten beschleunigt, dort gestreut werden und wieder von neuem beschleunigt werden müssen. Solche Störstellen sind zum Beispiel Fremdatome oder Versetzungen im Kristallgitter des Leiters. Dieses Modell führt zu einer nur von der mittleren Stärke der Unordnung und nicht von der konkreten Konfiguration der Störstellen abhängigen Leitfähigkeit.
Die Situation ändert sich drastisch, wenn zu Temperaturen im Bereich unter einem Kelvin und immer kleineren Proben übergegangen wird: Ist nämlich die Ausdehnung der Probe so klein, daß die Phase der die Elektronen beschreibenden Wellenfunktion über die gesamte Probe kohärent bleibt, so kann es zu Interferenzeffekten kommen, die durch den klassischen Ansatz nicht erfaßt werden können, die aber die Leitfähigkeit wesentlich beeinflussen.
Bei Experimenten dieser Art machten Laibowitz et al. [1] 1984 die Entdeckung, daß der Leitwert eines Metallringes mit einer Ausdehnung weniger Mikrometer in Abhängigkeit von dem Magnetfeld, in dem der Ring angebracht war, zufällig erscheinende Schwankungen in der Größenordnung von einem Promille des Gesamtleitwertes zeigte. Es handelte sich dabei nicht um ein Rauschen, das an seiner Zeitabhängigkeit zu erkennen gewesen wäre. Die Struktur der Leitwertschwankungen war vielmehr bei vorsichtigem Experimentieren an derselben Probe reproduzierbar. Wurde die Temperatur jedoch auf über ein Kelvin erhöht, oder die Probe z.B. durch Umstecken der äußeren Kontakte beeinflußt, so veränderte sich die Meßkurve drastisch. Dies legt nahe, daß die beobachteten Leitwertschwankungen direkt von der konkreten Störstellenkonfiguration abhängen, die durch oben genannte Eingriffe auf mikroskopischer Ebene verändert wird. Ein von der Probe und deren Störstellenkonfiguration unabhängiger Parameter ist die Amplitude dieser Fluktuationen, die bei T=0 immer von der Größenordnung e²/h ist. Bei Erhöhung der Temperatur in die Größenordnung von einigen Zehntelkelvin bleibt die Struktur der Leitwertfluktuationen erhalten, ihre Amplitude nimmt jedoch stetig ab.
Die Tatsache, daß es in realen Leitern tatsächlich zu solchen Interferenzeffekten kommen kann, war zum Zeitpunkt ihrer Entdeckung eine Überraschung. Die typischen mittleren freien Weglängen in einem metallischen Leiter liegen nämlich in der Größenordnung von hundert Ångstrøm, sind also deutlich kleiner als die Ausdehnung einer Probe von einigen Mikrometern. Die Möglichkeit der Beobachtung von Interferenzeffekten rührt, wie inzwischen bekannt ist, daher, daß beim elastischen Stoß eines Elektrons an einer Störstelle die Phase der Wellenfunktion zwar geändert wird, daß dies jedoch in deterministischer Weise geschieht. Somit behalten Elektronen, die die gleichen Störstellen passiert haben, ihre relative Phasenlage bei. Erst durch inelastische Stöße wird diese Kohärenz vernichtet; die Phasendifferenzen der Elektronen werden zufällig und mitteln sich aus, so daß die klassische Beschreibung wieder zutrifft. Einen Leiter, dessen Ausdehnung unterhalb der mittleren freien Weglänge der inelastischen Streuung liegt, nennt man mesoskopischen Leiter. In diesen mesoskopischen Leitern treten die oben beschriebenen Leitwertfluktuationen als quantenmechanische Interferenzeffekte auf.
Interessant wäre eine theoretische Vorhersage von statistischen Eigenschaften dieser Leitwertschwankungen, wie zum Beispiel ihrer Korrelationsfunktion
Dieses Ensemble der möglichen Störstellenkonfigurationen wird durch ein Zufallsverfahren modelliert, indem der Hamiltonoperator im Innern der Probe als eine Matrix mit zufälligen Einträgen gewählt wird. Als Verteilung der Einträge werden, soweit dies ohne Verletzung der Symmetrie des Problems möglich ist, unabhängige Gaußverteilungen angenommen, deren Breiten durch die mittlere Störstellenstärke festgelegt sind. Das Produkt zweier Leitwerte kann dann im wesentlichen als Produkt aus vier mit diesem Hamiltonoperator gebildeten Greenfunktionen geschrieben werden. Dieses Produkt ist anschließend über das gesamte Ensemble der die verschiedenen Störstellenkonfigurationen repräsentierenden Hamiltonoperatoren zu mitteln.
Eine geeignete Technik dazu ist die Darstellung der Greenschen Funktionen mittels eines erzeugenden Funktionals, wobei sogenannte Superintegrale verwendet werden, um die Mittelung durchführen zu können. Mit der in [3] und [4] behandelten Methode läßt sich die Leitwert-Korrelationsfunktion in ein Superintegral über einen durch die Symmetrie des Hamiltonoperators bestimmten Raum von Matrizen umformen. Dieses Integral wurde in einem störungstheoretischen Ansatz bereits gelöst. ([5], [6]) Der Entwicklungsparameter der Störungsrechnung ist in diesem Fall der Kehrwert der Anzahl der Kanäle über die die Probe an die Zuleitungen gekoppelt ist. Die Ergebnisse sind daher nur im Falle einer großen Anzahl von Kanälen gültig.
Im Grenzfall von wenigen oder gar nur einem Kanal ist man darauf angewiesen, das Integral exakt zu lösen. Dies ist nur möglich, wenn ein der Problemstellung angepaßtes Koordinatensystem zur Verfügung steht. Falls nur das Produkt zweier Greenfunktionen zu mitteln ist, eignet sich dazu das in obigen Referenzen angegebene Polarkoordinatensystem.
Dieses läßt sich auch für das Produkt von vier Greenfunktionen verallgemeinern. Es ist jedoch eine Eigenart von Superintegralen, daß bei Koordinatenwechseln, wie zum Beispiel dem übergang zu Polarkoordinaten, zusätzliche Terme - die sogenannten Randterme - entstehen. Die Kenntnis der Randterme ist somit zur abschließenden Auswertung der obengenannten Integrale und daher zur Berechnung der Leitwertkorrelationsfunktion unerläßlich. Diese Terme aufzufinden ist Hauptinhalt der Arbeit.
[1] C.P. Umbach, S. Washburn, R.B. Laibowitz und R.A. Webb,
"Magnetoresistance of Small, Quasi-one-dimensional, Normal-metal Rings
and Lines", Phys. Rev. B30 (1984), 4048.
[2] P.A. Lee, A.D. Stone und H. Fukuyama,
"Universal conductance fluctuations in metals: Effects of finite
temperature, interactions, and magnetic field",
Phys. Rev. B35 (1987), 1039.
[3] K.B. Efetov, "Supersymmetry and theory of disordered metals",
Adv. Pys. 32 (1983), 53.
[4] J.J.M. Verbaarschot, H.A. Weidenmüller und M.R. Zirnbauer,
"Grassmann integration in stochastic quantum physics: The case of
compound-nucleus scattering", Phys. Rep. 129 (1985),
367.
[5] S. Iida, H.A. Weidenmüller und J.A. Zuk, "Statistical Scattering
Theory, the Supersymmetry Method and Universal Conductance Fluctuations",
Ann. Phys. 200 (1990), 219.
[6] A. Altland, "Conductance and conductance fluctuations of mesoscopic
systems with different symmetries: a statistical scattering approach",
Z. Phys. B82 (1991), 105.
Die gesamte Diplomarbeit umfaßt als komprimierte Postscript-Datei gut 300kB.